Calculadora de Probabilidade

Quando todos os resultados são igualmente prováveis, a probabilidade é casos favoráveis ÷ casos possíveis. Tirar 6 em um dado honesto: um caso favorável entre seis possíveis, ou seja 1/6 ≈ 0,167 = 16,7%. O valor fica sempre entre 0 (impossível) e 1 (certo). Resultado fora desse intervalo denuncia erro de contagem, quase sempre casos contados duas vezes no numerador. A condição de equiprobabilidade é a parte que costuma passar batida. Ela vale para dado honesto, moeda equilibrada e sorteio bem feito, mas não vale para a soma de dois dados: entre os resultados de 2 a 12, o 7 é bem mais provável que o 2, porque seis combinações somam 7 e apenas uma soma 2. Contar os resultados errados é o erro mais comum de todos.

Três regras cobrem quase tudo. Para dois eventos independentes ocorrerem juntos, multiplique: duas caras seguidas dão 1/2 × 1/2 = 1/4. Para um ou outro de eventos que não podem acontecer ao mesmo tempo, some: tirar 1 ou 6 num dado dá 1/6 + 1/6 = 1/3. Se os eventos podem coincidir, somar contaria a interseção duas vezes, e é preciso descontá-la: P(A ou B) = P(A) + P(B) − P(A e B). A terceira regra é a mais subestimada: a probabilidade de não ocorrer é 1 − p. Muitas perguntas ficam bem mais simples pelo avesso. "Qual a chance de sair pelo menos um 6 em quatro lançamentos?" é trabalhoso de contar diretamente, mas o complementar resolve na hora: 1 − (5/6)⁴ ≈ 51,8%.

Depois de dez coroas seguidas, a chance de cara no próximo lançamento é exatamente 1/2. A moeda não guarda registro do que aconteceu, não deve nada a ninguém e não tem tendência a compensar. A crença contrária é tão difundida que ganhou nome: falácia do apostador. Ela nasce de uma leitura torta da lei dos grandes números, que de fato existe — mas garante apenas que a proporção de caras se aproxima de 50% conforme o número de lançamentos cresce. Não garante que a diferença absoluta entre caras e coroas encolha; na prática, essa diferença tende a crescer, e o que diminui é o peso dela sobre o total. O mesmo vale para qualquer sorteio independente: números de loteria, roleta, sorteio de brindes. Uma sequência improvável que já ocorreu não altera em nada a probabilidade da próxima tentativa. A exceção são as extrações sem reposição, como cartas de um baralho, em que cada retirada realmente muda o que restou.

Dois eventos são independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro — formalmente, quando P(A e B) = P(A) × P(B). Lançamentos de moeda são independentes; cartas retiradas sem reposição, não. Tirar dois ases seguidos de um baralho de 52 cartas mostra a diferença. A primeira carta tem 4/52; a segunda, com um ás a menos e uma carta a menos no baralho, tem 3/51. O resultado é 4/52 × 3/51 = 1/221, cerca de 0,45% — e não (4/52)², que seria a conta com reposição. A probabilidade condicional P(A|B) mede a chance de A dado que B ocorreu, e ela raramente bate com a intuição. Exemplo clássico: uma doença atinge 1% da população; um exame acerta 99% dos doentes, mas acusa falso positivo em 5% dos saudáveis. Quem recebe resultado positivo tem qual chance de estar doente? Cerca de 17%, e não 99% — porque os 5% de falsos positivos incidem sobre os 99% de pessoas saudáveis, produzindo muito mais positivos errados do que corretos. É o efeito da taxa de base: quando o evento é raro, mesmo um teste muito bom gera maioria de alarmes falsos.

Em um grupo de 23 pessoas, a chance de haver pelo menos duas com o mesmo dia de aniversário já passa de 50%. Com 57 pessoas, ultrapassa 99%. O resultado soa absurdo diante dos 365 dias do ano, e por isso é chamado de paradoxo — embora não haja contradição nenhuma. O engano está na pergunta que a intuição responde. Ninguém perguntou quantas pessoas fazem aniversário no mesmo dia que você; essa chance é mesmo baixa. A pergunta é se alguma dupla qualquer coincide, e o número de duplas cresce muito mais rápido que o de pessoas: com 23 pessoas há 23 × 22 ÷ 2 = 253 pares possíveis. A conta se faz pelo complementar. A probabilidade de todos terem datas diferentes é 365/365 × 364/365 × 363/365 × …, com 23 fatores; o produto fica pouco abaixo de 0,493, e o complementar passa de 50%. A lição é geral e útil fora do exemplo: em contagem de coincidências, o que importa quase sempre é o número de pares, não o de elementos. Quando os casos ficam numerosos demais para listar, é a análise combinatória que fornece os totais.