Calculadora de Fatorial

n! é o produto de todos os inteiros positivos até n: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. A definição mais útil, porém, é a recursiva: n! = n × (n−1)!, com 0! = 1 como ponto de partida. É dela que saem quase todas as propriedades. O crescimento é difícil de intuir. 10! = 3.628.800; 20! = 2.432.902.008.176.640.000, mais de dois quintilhões; e 70! já ultrapassa um googol, o número 1 seguido de cem zeros — 69! tem 99 dígitos e 70! tem 101. O fatorial cresce mais rápido que qualquer exponencial. Enquanto 2ⁿ sempre multiplica por 2, n! multiplica por n, um fator que aumenta a cada passo. Por isso um algoritmo de custo O(n!) é considerado inviável já para valores pequenos de n.

Parece arbitrário, mas não é escolha: qualquer outra definição quebraria a matemática ao redor. Pela recursão, 1! = 1 × 0!. Como 1! = 1, obrigatoriamente 0! = 1. Pela contagem, n! conta de quantas formas se pode ordenar n objetos. Com zero objetos existe exatamente uma arrumação: a lista vazia. Não são zero maneiras — é uma. Pela álgebra, C(n,n) = n! ÷ [n!·0!] tem de dar 1, o único jeito de escolher todos os elementos. Isso só funciona com 0! = 1. E pela convenção geral de produtos: multiplicar nenhum fator dá o elemento neutro da multiplicação, que é 1 — assim como somar nenhuma parcela dá 0.

A leitura direta é de contagem de ordens: n! é o número de permutações de n elementos. Cinco pessoas em cinco cadeiras podem se sentar de 120 maneiras. Daí ele vira a peça central de arranjos, A(n,p) = n! ÷ (n−p)!, e de combinações, C(n,p) = n! ÷ [p!·(n−p)!] — e, por consequência, de todo cálculo de probabilidade em espaços finitos. Menos conhecida, mas igualmente central, é sua presença nas séries. O número de Euler é a soma dos inversos dos fatoriais: 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … = 2,71828…. Somar só até o oitavo termo já acerta cinco casas decimais, porque o denominador explode. A mesma estrutura aparece nas séries de Taylor de seno, cosseno e exponencial, em que cada termo é dividido por um fatorial.

Poucas funções quebram limites de tipo tão depressa, e vale conhecer os pontos exatos. 12! = 479.001.600 ainda cabe em um inteiro de 32 bits; 13! = 6.227.020.800 já não cabe. Em JavaScript, 18! é o último fatorial representado com exatidão por um número comum: vale 6.402.373.705.728.000, abaixo do limite seguro de 9.007.199.254.740.991 — a partir de 19! os dígitos finais passam a ser aproximados sem qualquer aviso. Em um inteiro de 64 bits sem sinal, o teto é 20!. Já em ponto flutuante de dupla precisão, o limite é bem mais longe: 170! cabe, com seus 307 dígitos, e 171! estoura para infinito. É exatamente por isso que esta calculadora aceita até 170 — e usa aritmética de inteiros grandes para devolver todos os dígitos, não uma aproximação.

Para valores grandes, calcular n! termo a termo é caro, e usa-se a aproximação de Stirling: n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ. O erro relativo já é inferior a 1% em n = 10 e cai para menos de 0,1% em n = 100. É a fórmula por trás de boa parte da análise de algoritmos e da física estatística. O fatorial também tem uma extensão contínua: a função gama, que satisfaz Γ(n) = (n−1)! para inteiros positivos e está definida para praticamente todo número real ou complexo. Ela dá sentido a perguntas aparentemente sem sentido — o "fatorial de 1/2" vale √π ÷ 2 ≈ 0,8862. A notação n! que usamos hoje é atribuída a Christian Kramp, que a adotou em 1808; antes disso, cada autor tinha o seu próprio símbolo para a mesma operação.