Calculadora de Frações

Para somar ou subtrair, os denominadores precisam ser iguais: só se somam pedaços do mesmo tamanho. Terços e metades não se somam diretamente — antes é preciso converter os dois para sextos. O caminho mecânico é multiplicar em cruz: a/b + c/d = (a·d + c·b) ÷ (b·d). Assim, 1/2 + 1/3 = (3 + 2)/6 = 5/6. Funciona sempre, e é o que esta calculadora faz. O caminho econômico usa o MMC dos denominadores. Em 1/4 + 1/6, o produto dos denominadores é 24, mas o MMC é apenas 12: 3/12 + 2/12 = 5/12. Os dois métodos chegam ao mesmo lugar — pelo produto sairia 10/24, que simplificado também é 5/12 —, só que o MMC evita números grandes e poupa a simplificação final. Para subtrair, muda apenas o sinal.

Multiplicar é a operação sem pegadinha: numerador com numerador, denominador com denominador. 2/3 × 3/5 = 6/15 = 2/5, sem necessidade de igualar denominadores. Dividir parece arbitrário porque a regra é "inverta a segunda e multiplique" — mas há uma razão concreta por trás. Dividir por 1/2 é perguntar quantas metades cabem no número. Em 1 cabem duas; em 3, cabem seis. Por isso 3 ÷ 1/2 = 6, e não 1,5: dividir por um número menor que 1 aumenta o resultado. A justificativa formal é igualmente curta. Toda fração c/d tem um inverso, d/c, cujo produto com ela dá 1. Multiplicando numerador e denominador da divisão (a/b) ÷ (c/d) por esse inverso, o denominador vira 1 e sobra a/b × d/c. A inversão não é truque de memorização: é o que anula o divisor. Daí sai um caso prático: dividir por um inteiro n é o mesmo que multiplicar por 1/n.

Uma fração está na forma irredutível quando numerador e denominador não têm mais nenhum divisor comum além de 1. Para chegar lá, divida os dois pelo MDC: 6/8 tem MDC 2 e vira 3/4; 18/24 tem MDC 6 e vira 3/4 também. Simplificar antes de multiplicar poupa trabalho. Em 4/9 × 3/8, cancelar o 4 com o 8 e o 3 com o 9 deixa 1/3 × 1/2 = 1/6, sem precisar lidar com 12/72. Denominador 1 significa número inteiro (8/1 = 8). Denominador zero não existe: não há como repartir algo em zero partes, e por isso a operação fica indefinida.

Toda fração vira decimal dividindo numerador por denominador, e o resultado tem só dois destinos: ele termina ou entra em dízima periódica. Não existe terceira opção — e dá para prever qual será antes de dividir. A regra, com a fração já irredutível: o decimal é exato quando o denominador tem apenas os fatores primos 2 e 5; em qualquer outro caso, é periódico. 1/8 termina, porque 8 = 2³, e dá 0,125; 3/20 termina, porque 20 = 2² × 5, e dá 0,15. Já 1/3 = 0,333… e 1/7 = 0,142857142857…, com período de seis dígitos, não terminam nunca. O motivo é que o sistema decimal é construído sobre a base 10, cujos fatores primos são exatamente 2 e 5. O caminho de volta é curto: escreva o período sobre tantos noves quantos forem seus dígitos. 0,333… = 3/9 = 1/3 e 0,121212… = 12/99 = 4/33. O mesmo mecanismo explica o célebre 0,999… = 9/9 = 1 — não é aproximação, é igualdade.

A primeira é somar numeradores com numeradores e denominadores com denominadores. 1/2 + 1/3 não é 2/5. Curiosamente, essa operação errada tem nome e utilidade próprios — chama-se mediante, e o resultado sempre cai entre as duas frações originais —, mas ela não é a soma. A segunda é supor que denominador maior significa fração maior. 1/8 é menor que 1/3: quanto mais partes, menor cada pedaço. A terceira é comparar frações no olho. O método seguro é a multiplicação cruzada: entre 5/8 e 7/11, compare 5 × 11 = 55 com 7 × 8 = 56. Como 56 é maior, 7/11 é a maior das duas — e a diferença entre elas é de menos de 2%.