Calculadora de Média

A média aritmética é a soma dos valores dividida pela quantidade: para 10, 20 e 30, 60 ÷ 3 = 20. Todos os números entram com o mesmo peso. Ela tem uma interpretação física exata: a média é o ponto de equilíbrio do conjunto. Se os valores fossem pesos iguais distribuídos sobre uma régua, ela ficaria em equilíbrio exatamente na média. Daí decorre uma propriedade que serve de conferência rápida: a soma dos desvios em relação à média é sempre zero, porque o que está acima compensa o que está abaixo. No exemplo: (10−20) + (20−20) + (30−20) = −10 + 0 + 10 = 0. Uma consequência incômoda disso é que a média não precisa ser um valor possível. Uma cidade com 2,3 filhos por família não tem nenhuma família com 2,3 filhos — o número resume o conjunto sem descrever nenhum de seus membros.

Quando cada valor tem uma importância diferente, multiplique cada um pelo seu peso, some tudo e divida pela soma dos pesos: (v₁·p₁ + v₂·p₂ + …) ÷ (p₁ + p₂ + …). Um boletim com prova 8 (peso 3) e trabalho 6 (peso 1) dá (8×3 + 6×1) ÷ 4 = 30 ÷ 4 = 7,5 — e não 7, que seria a média simples. Repare no divisor: ele é a soma dos pesos (4), nunca a quantidade de notas (2). Dividir pela quantidade é o erro mais frequente da média ponderada e sempre produz um número menor que o correto quando os pesos somam mais que a quantidade de itens. A média aritmética é apenas o caso particular em que todos os pesos são iguais — por isso a mesma fórmula cobre as duas.

Somar as médias de vários grupos e dividir pela quantidade de grupos só funciona se todos tiverem o mesmo tamanho. Fora disso, o resultado está errado. Uma turma A com 10 alunos tem média 6; uma turma B com 30 alunos tem média 8. A "média das médias" daria (6 + 8) ÷ 2 = 7. A média real das 40 notas é (10×6 + 30×8) ÷ 40 = 300 ÷ 40 = 7,5 — meio ponto de diferença, porque a turma maior deveria pesar três vezes mais. O conserto é sempre o mesmo: ponderar cada média pelo tamanho do grupo que ela representa. Isso vale para notas, para o preço médio de compras feitas em lotes de tamanhos diferentes e para qualquer indicador consolidado a partir de subtotais.

A média é sensível a valores extremos: um único número muito fora do padrão desloca o resultado inteiro. No conjunto 1, 2, 2, 3 e 100, a média é 21,6 — um valor que não descreve nenhum dos dados. A mediana, o valor central da lista ordenada, resiste a isso: no mesmo conjunto ela é 2. É por essa razão que renda e preço de imóveis costumam ser divulgados pela mediana. Distribuições com cauda longa à direita puxam a média para cima de quase toda a amostra. Há uma diferença técnica por trás: a média é o número que minimiza a soma dos desvios ao quadrado, enquanto a mediana minimiza a soma dos desvios em módulo. É exatamente o quadrado que dá peso desproporcional aos extremos. Para saber se o seu conjunto tem esse problema, olhe a dispersão: um desvio padrão alto em relação à média é o sinal.

Para taxas em que a grandeza de interesse está no denominador, a média correta é a harmônica. Ir a 60 km/h e voltar pelo mesmo caminho a 30 km/h não dá 45 km/h: dá 40 km/h, porque se passa o dobro do tempo no trecho lento. A conta é 2 ÷ (1/60 + 1/30) = 40. Para fatores que se multiplicam — rendimentos ano a ano, crescimento populacional, sucessivos reajustes —, a média certa é a geométrica. Um investimento que sobe 50% e depois cai 50% tem média aritmética de 0%, mas terminou com 75% do valor inicial. A regra prática: se somar os valores tem significado, use a aritmética; se o que se combina é multiplicação, use a geométrica; se a grandeza é "alguma coisa por unidade de outra coisa", desconfie e teste a harmônica.