Notação Científica

Todo número diferente de zero se escreve como a × 10^b, com a mantissa entre 1 e 10 em módulo e o expoente b inteiro. 1500 = 1,5 × 10³: a vírgula andou três casas para a esquerda, e o expoente é +3. 0,00042 = 4,2 × 10⁻⁴: a vírgula andou quatro casas para a direita, e o expoente é −4. A regra é sempre essa — o expoente conta quantas casas a vírgula se moveu, e o sinal indica em qual direção. A exigência de manter a mantissa entre 1 e 10 existe para que cada número tenha uma única representação. 15 × 10² e 0,15 × 10⁴ valem o mesmo que 1,5 × 10³, mas somente a última está na forma normalizada.

O maior ganho da notação científica não é economizar zeros: é permitir comparar escalas de relance. A ordem de grandeza de um número é o expoente da sua potência de dez, e a diferença entre dois expoentes já diz quantas vezes um supera o outro. A massa da Terra é da ordem de 10²⁴ quilogramas; um átomo tem tamanho da ordem de 10⁻¹⁰ metro; a velocidade da luz é 2,998 × 10⁸ metros por segundo. Escritos em notação decimal comum, esses números seriam ilegíveis lado a lado; em notação científica, fica imediato que há 34 ordens de grandeza entre os dois primeiros. Cada ordem de grandeza vale um fator 10. Três ordens de diferença são mil vezes; seis, um milhão de vezes. É a mesma lógica dos prefixos quilo, mega e giga.

Escrever 1500 esconde uma informação importante: com que precisão esse número foi obtido? Ele pode significar "aproximadamente mil e quinhentos" ou "exatamente 1500, com os quatro dígitos confiáveis". A notação decimal comum não distingue os dois casos; a científica, sim. 1,5 × 10³ declara dois algarismos significativos. 1,50 × 10³ declara três. 1,500 × 10³, quatro. Os zeros à direita da mantissa deixam de ser enfeite e passam a afirmar que aquela casa foi de fato medida. Daí sai a regra prática dos cálculos com dados medidos: o resultado de uma multiplicação ou divisão não deve ter mais algarismos significativos do que o fator menos preciso. Multiplicar uma medida de dois algarismos por outra de cinco não produz uma resposta de sete dígitos confiáveis — produz uma de dois. A calculadora exibe todas as casas que quiser; a precisão real continua sendo a do pior dado.

Multiplicar é multiplicar as mantissas e somar os expoentes: (2 × 10³) × (3 × 10²) = 6 × 10⁵. Dividir é dividir as mantissas e subtrair os expoentes. Somar e subtrair exigem um passo a mais: os expoentes precisam ser iguais antes. 1,5 × 10³ + 2 × 10² vira 1,5 × 10³ + 0,2 × 10³ = 1,7 × 10³. Se o resultado sair com mantissa fora do intervalo de 1 a 10, renormalize deslocando a vírgula e ajustando o expoente. Em calculadoras e planilhas, a notação aparece como 1.5E3 ou 1.5e3, em que o "E" significa "vezes dez elevado a". Uma variante, a notação de engenharia, restringe o expoente a múltiplos de 3 para casar com os prefixos quilo, mega e mili.

O computador guarda números reais em um formato muito parecido com a notação científica — sinal, parte significativa e expoente —, só que em base 2. Daí vem um dos resultados mais desconcertantes da programação: 0,1 + 0,2 não devolve 0,3, e sim 0,30000000000000004. Não é bug nem falta de capacidade da máquina. Em base 10, 1/3 não tem representação finita: 0,333… nunca fecha. Em base 2, quem não fecha é 0,1, porque 10 tem o fator primo 5 e a base 2 não o possui. O que fica armazenado é o binário mais próximo de 0,1, ligeiramente diferente dele — e a diferença aparece assim que os erros se acumulam. O formato padrão de 64 bits reserva 53 bits para a parte significativa, o que corresponde a cerca de 15 a 17 dígitos decimais confiáveis. Daí duas regras de ouro: nunca compare dois decimais por igualdade exata (verifique se a diferença é menor que uma tolerância) e, para dinheiro, trabalhe com centavos inteiros, eliminando o problema na origem.