Calculadora de Raiz Quadrada

A raiz quadrada de um número é o valor não negativo que, elevado ao quadrado, resulta nele: √144 = 12 porque 12² = 144. É a operação inversa da potência de expoente 2. Os números de raiz inteira são os quadrados perfeitos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144. Reconhecê-los de cor acelera qualquer estimativa. √50, por exemplo, está entre √49 = 7 e √64 = 8, e muito mais perto de 7 — o valor é aproximadamente 7,07. O número sob o símbolo chama-se radicando; o numerozinho no canto do sinal, quando aparece, é o índice. Sem índice escrito, entende-se 2.

x² = 4 tem duas soluções, +2 e −2. Já √4 vale apenas 2. As duas afirmações convivem sem contradição, e entender por quê desfaz uma confusão que atravessa o ensino médio inteiro. O símbolo √ designa uma função, e função devolve um único valor para cada entrada. Se √4 pudesse ser 2 ou −2, uma expressão como √4 + 1 ficaria ambígua. Por isso se convencionou a raiz principal: entre os dois candidatos, o símbolo sempre entrega o não negativo. Quando o duplo valor é necessário, o sinal ± é escrito fora do radical — é exatamente o que a fórmula de Bhaskara faz com o seu ±√Δ. Resolver x² = 4 corretamente dá x = ±√4 = ±2: o duplo sinal vem da equação, não do símbolo. Daí decorre um detalhe que costuma surpreender: √(x²) não é x, e sim |x|, o módulo. Com x = −3, √((−3)²) = √9 = 3.

A raiz cúbica (índice 3) desfaz o cubo: ∛27 = 3. Em geral, a raiz de índice n equivale a elevar a 1/n. A paridade do índice muda tudo. Raízes de índice par só existem nos reais para radicando não negativo, porque nenhum número real elevado a uma potência par resulta negativo. Raízes de índice ímpar aceitam negativos sem problema: ∛(−8) = −2, já que (−2)³ = −8. Para radicando negativo com índice par, a saída é ampliar o conjunto numérico: nos complexos, define-se i com i² = −1, e √(−9) vale 3i. Esta calculadora opera apenas nos reais e sinaliza esse caso como sem raiz real.

√2 ≈ 1,4142135… é irracional: não pode ser escrito como fração de dois inteiros, e sua expansão decimal é infinita e não periódica. A demonstração é curta e vale a pena acompanhar. Suponha √2 = p/q, com a fração já irredutível. Elevando ao quadrado, p² = 2q², logo p² é par — e se p² é par, p também é. Escreva p = 2k: então 4k² = 2q², ou seja q² = 2k², o que torna q par também. Mas p e q pares contradizem a hipótese de fração irredutível. Como a suposição inicial leva a um absurdo, ela é falsa. O mesmo argumento vale em geral: a raiz de qualquer inteiro que não seja quadrado perfeito é irracional. √3, √5 e √7 são; √9 não é. Nada disso impede o número de aparecer em medidas concretas. √2 é a diagonal de um quadrado de lado 1 — e é também a proporção entre os lados das folhas da série A. Uma A4 dobrada ao meio vira uma A5 com exatamente as mesmas proporções, o que só é possível porque a razão entre os lados é √2.

O método mais usado antes das máquinas é um processo iterativo conhecido como babilônico ou de Heron, e continua sendo a base do que roda por dentro delas. A receita: chute um valor, divida o número original pelo chute e tire a média entre os dois; o resultado é o novo chute. Para √2, partindo de 1,5: 2 ÷ 1,5 = 1,3333, e a média com 1,5 dá 1,41667. Repetindo, 2 ÷ 1,41667 = 1,41176, cuja média dá 1,414216 — seis casas corretas em duas rodadas. A convergência é rápida porque o número de dígitos exatos praticamente dobra a cada passo. Duas regras de manipulação fecham o assunto. √a × √b = √(ab) vale para radicandos não negativos, e é o que permite escrever √50 = √25 × √2 = 5√2. Mas √(a + b) não é √a + √b: √(9 + 16) = √25 = 5, enquanto 3 + 4 = 7.