Volume de Sólidos Geométricos

Cubo: aresta³. Paralelepípedo: comprimento × largura × altura. Esfera: 4/3 × π × raio³. Cilindro: π × raio² × altura. Cone: o mesmo do cilindro dividido por 3. Pirâmide: área da base × altura ÷ 3. Cone e pirâmide valem um terço do prisma/cilindro de mesma base e altura.

Volume em metros cúbicos vira litros multiplicando por 1.000 (1 m³ = 1.000 L); em centímetros cúbicos, 1.000 cm³ = 1 litro. É assim que se calcula a capacidade de caixas d'água, tanques e recipientes a partir das medidas.

Use todas as medidas na mesma unidade antes de calcular. Como o volume eleva ao cubo, um erro de unidade se amplia: trocar cm por m muda o resultado por um fator de 1.000.000. Converta tudo primeiro e só depois aplique a fórmula.

Esta é a propriedade menos intuitiva da geometria espacial, e a que mais surpreende na prática: dobrar uma dimensão linear multiplica a área por 4 e o volume por 8. Uma caixa d'água com o dobro da altura, da largura e do comprimento não guarda o dobro de água — guarda oito vezes mais. Uma pizza de 40 cm de diâmetro não tem o dobro da massa de uma de 20 cm, tem quatro vezes. E uma esfera com o triplo do raio tem 27 vezes o volume da original. A regra geral: se todas as medidas são multiplicadas por um fator k, a área é multiplicada por k² e o volume por k³. É por isso que reduzir levemente as dimensões de uma embalagem corta bem mais conteúdo do que a mudança aparenta, e por que animais grandes têm proporções corporais diferentes dos pequenos — a massa cresce com o cubo, mas a seção dos ossos que a sustenta cresce só com o quadrado.

O fator 1/3 que aparece no cone e na pirâmide não é convenção arbitrária: três pirâmides de mesma base e mesma altura preenchem exatamente um prisma correspondente, sem sobra e sem falta. Isso vale para qualquer base — triangular, quadrada, circular. O cone é o caso da base circular, e por isso seu volume é a terça parte do cilindro de mesma base e altura. É um resultado que se demonstra por decomposição geométrica e que também sai do cálculo integral. O mesmo raciocínio explica a fórmula da esfera. O volume 4/3 × π × r³ equivale a dois terços do volume do cilindro que a circunscreve — aquele com raio r e altura 2r. Essa relação foi estabelecida por Arquimedes e ele a considerava seu resultado mais importante.