Desvio Padrão e Média

Comece pela média. Depois calcule, para cada valor, a diferença até a média e eleve ao quadrado. Some esses quadrados e divida por n (populacional) ou n−1 (amostral): isso é a variância. O desvio padrão é a raiz quadrada dela. Com os valores 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 e 9, a soma dá 40 e a média é 5. Os desvios são −3, −1, −1, −1, 0, 0, +2 e +4; os quadrados, 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 e 16, que somam 32. No modo populacional, 32 ÷ 8 = 4 de variância e √4 = 2 de desvio padrão. No amostral, 32 ÷ 7 ≈ 4,571 e o desvio sobe para 2,14.

A pergunta é legítima: se o objetivo é medir o afastamento médio, por que não somar os desvios direto? Porque a soma dos desvios em relação à média é sempre zero — os positivos cancelam os negativos exatamente. Sem alguma operação que elimine o sinal, o resultado seria zero para qualquer conjunto. Elevar ao quadrado resolve o sinal e, de quebra, dá peso maior aos afastamentos grandes: um desvio de 4 contribui com 16, dezesseis vezes mais que um desvio de 1. Existe uma alternativa, o desvio absoluto médio, que usa o módulo — mas a variância tem propriedades matemáticas muito mais convenientes, como somar-se diretamente quando variáveis independentes são combinadas. O problema do quadrado é a unidade: uma variância de dados em reais sai em "reais ao quadrado", que não significa nada. A raiz quadrada final existe justamente para devolver o número à unidade original — por isso o desvio padrão, e não a variância, é o que se reporta.

Use o populacional (÷ n) quando os dados são o conjunto inteiro que interessa: as notas de todos os alunos da turma, os 12 meses do ano fechado. Use o amostral (÷ n−1) quando os dados são uma amostra de algo maior e você quer estimar a dispersão do todo. A razão do n−1, chamada correção de Bessel, é que a média usada no cálculo foi estimada a partir dos próprios dados. Ela é, por construção, o ponto que minimiza a soma dos quadrados daquela amostra — então os desvios medidos em relação a ela são sistematicamente menores do que seriam em relação à média verdadeira da população. Dividir por n−1 compensa esse viés. O tamanho do ajuste depende de n. Com 8 valores, o desvio amostral fica cerca de 7% maior que o populacional; com 100 valores, a diferença cai para 0,5%; com milhares, é irrelevante. Um detalhe pouco lembrado: o n−1 torna a variância um estimador não enviesado, mas a raiz quadrada dela ainda carrega um pequeno viés — o desvio padrão amostral não é perfeitamente não enviesado. Nas planilhas, escolher errado entre STDEV.S e STDEV.P (em português, DESVPAD.A e DESVPAD.P) é uma fonte silenciosa de divergência entre relatórios.

Um desvio padrão baixo indica valores agrupados perto da média; alto, valores espalhados. Não é bom nem ruim por si: em controle de qualidade você quer o menor possível, em uma carteira diversificada a dispersão pode ser desejada. Em dados que seguem a distribuição normal, valem as referências clássicas: cerca de 68% das observações caem a até um desvio padrão da média, 95% a até dois e 99,7% a até três. Essas porcentagens, porém, só valem para a normal. Para distribuições de forma desconhecida existe a desigualdade de Chebyshev, que é bem mais fraca mas universal: pelo menos 75% dos dados estão a até dois desvios padrão da média e pelo menos 88,9% a até três — qualquer que seja a distribuição. Para comparar dispersões de escalas diferentes, use o coeficiente de variação (desvio padrão dividido pela média). Um desvio de R$ 50 é enorme sobre uma média de R$ 100 e desprezível sobre uma média de R$ 100.000.

Resumir dados em um número tem custo. Os quatro conjuntos publicados por Francis Anscombe em 1973 são a demonstração famosa disso: têm praticamente a mesma média, a mesma variância e a mesma reta de regressão, mas seus gráficos são completamente diferentes — um é linear, outro é uma curva, outro é dominado por um único ponto extremo. Sempre olhe o gráfico antes de confiar no resumo. Duas propriedades úteis para conferência: somar uma constante a todos os valores não muda o desvio padrão (a nuvem inteira desliza, a dispersão continua igual), enquanto multiplicar todos por uma constante multiplica o desvio pelo módulo dela. E um alerta para quem programa: a fórmula "de uma passada" que subtrai o quadrado da média da média dos quadrados é matematicamente correta, mas numericamente instável. Quando a média é grande em relação à dispersão, o cancelamento entre dois números quase idênticos destrói a precisão e o resultado pode até sair negativo. Nesses casos, usa-se um algoritmo incremental como o de Welford.