Equação do 2º Grau (Bhaskara)

Para ax² + bx + c = 0 com a ≠ 0, calcula-se primeiro o discriminante Δ = b² − 4ac e depois x = (−b ± √Δ) ÷ 2a. O sinal ± é o que produz as duas raízes de uma vez. Em x² − 5x + 6 = 0: Δ = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1. Logo x = (5 ± 1) ÷ 2, e as raízes são x₁ = 3 e x₂ = 2. Dois descuidos derrubam a maior parte das contas. O −b usa o oposto de b, então com b = −5 o numerador começa em +5, não em −5. E o 2a divide a expressão inteira, não apenas a raiz.

O Δ decide o desfecho antes de qualquer extração de raiz — é daí que vem o nome discriminante, aquilo que discrimina os casos. Δ > 0: duas raízes reais distintas; a parábola corta o eixo horizontal em dois pontos. Δ = 0: uma raiz real dupla, x = −b ÷ 2a; a parábola apenas encosta no eixo, exatamente no vértice. Δ < 0: nenhuma raiz real; a parábola inteira fica de um lado do eixo, sem tocá-lo. Há um atalho que dispensa a conta: quando a e c têm sinais opostos, o produto −4ac é positivo, Δ é necessariamente positivo e as duas raízes reais existem com certeza.

A raiz quadrada de um número negativo não existe entre os reais por uma razão elementar: todo número real elevado ao quadrado é positivo ou zero. Positivo vezes positivo dá positivo; negativo vezes negativo também. Não existe real que, ao quadrado, resulte em −4. Geometricamente, Δ < 0 significa que a parábola não cruza o eixo horizontal. Se ela abre para cima e o seu ponto mais baixo já está acima do eixo, não há por onde tocar. Isso não quer dizer que a equação não tenha solução alguma — quer dizer que a solução não é real. Ampliando o conjunto para os números complexos, onde i² = −1, as duas raízes existem e são conjugadas: x = (−b ± i√|Δ|) ÷ 2a. Em x² + 1 = 0, elas são i e −i. Na resposta escolar brasileira, o padrão é registrar "não há raízes reais" e parar.

A fórmula não é um axioma: ela é o resultado de completar o quadrado na forma geral, feito uma vez para nunca mais ser preciso repetir. O método fica claro num caso concreto. Em x² − 6x + 5 = 0, isole x² − 6x = −5. A metade do coeficiente de x é −3, e (−3)² = 9; some 9 dos dois lados: x² − 6x + 9 = 4. O lado esquerdo agora é (x − 3)², então x − 3 = ±2, o que dá x = 5 ou x = 1. Aplicar exatamente esse roteiro a ax² + bx + c = 0 leva a (x + b/2a)² = (b² − 4ac) ÷ 4a². O b² − 4ac que aparece ali é o discriminante, e a fórmula de Bhaskara é apenas o último passo dessa manipulação, deixado pronto.

Duas relações conferem o resultado em segundos: a soma das raízes vale −b ÷ a e o produto, c ÷ a. Em x² − 5x + 6 = 0, a soma tem de dar 5 e o produto 6 — e de fato 3 + 2 = 5 e 3 × 2 = 6. Conhecidas no Brasil como relações de Girard, elas também permitem achar raízes inteiras de cabeça: basta procurar dois números que somem −b/a e multipliquem c/a. Sobre o nome: chamar a fórmula de Bhaskara é hábito praticamente exclusivo do Brasil. Em inglês, francês ou espanhol ela é simplesmente "a fórmula quadrática". Bhaskara II foi um matemático indiano do século XII, mas métodos para resolver problemas quadráticos são muito anteriores a ele e vêm de várias tradições. Um detalhe para quem programa: quando b² é muito maior que 4ac, uma das raízes acaba calculada como a diferença entre dois números quase idênticos e a precisão desaba. Para essa raiz, usa-se a forma equivalente x = 2c ÷ (−b ∓ √Δ).