Teorema de Pitágoras

Em todo triângulo retângulo vale a² + b² = c², em que c é a hipotenusa — o lado oposto ao ângulo reto, sempre o maior dos três — e a e b são os catetos. Para achar a hipotenusa: c = √(a² + b²). Com catetos 3 e 4: √(9 + 16) = √25 = 5. O enunciado clássico é literalmente sobre área: o quadrado construído sobre a hipotenusa tem área igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. No caso 3-4-5, esses quadrados medem 9, 16 e 25 unidades de área, e 9 + 16 = 25. Pensar em áreas, e não apenas em números elevados ao quadrado, torna o resultado bem menos abstrato — e explica por que existem dezenas de demonstrações do teorema feitas só com recorte e encaixe de figuras.

Com a hipotenusa e um cateto em mãos, isole o que falta: a = √(c² − b²). Uma escada de 5 m apoiada na parede, com a base a 3 m dela, alcança √(25 − 9) = √16 = 4 m de altura. Dois testes evitam resultados sem sentido. A hipotenusa precisa ser maior que cada cateto; se a subtração c² − b² der negativa, os dados são impossíveis e não existe triângulo retângulo com aquelas medidas. E a hipotenusa é sempre menor que a soma dos catetos: 5 contra 3 + 4 = 7. É essa desigualdade que explica por que atravessar um terreno na diagonal encurta o caminho em relação a contornar pelos dois lados.

O teorema não vale para triângulo qualquer, e é justamente essa restrição que o torna útil. Num triângulo genérico, a relação correta é a lei dos cossenos: c² = a² + b² − 2ab·cos(C). Quando o ângulo C é reto, o cosseno vale zero e o último termo some — Pitágoras é o caso particular de 90°. A comparação ainda classifica o triângulo. Se c² for menor que a² + b², o maior ângulo é agudo; se for maior, é obtuso. Mais importante na prática é a recíproca, também presente nos Elementos de Euclides: se três lados satisfazem a² + b² = c², então o triângulo é retângulo. Ou seja, dá para produzir um ângulo reto medindo apenas comprimentos, sem transferidor nem esquadro — que é exatamente o que a construção civil faz.

Ternos pitagóricos são trios de inteiros que satisfazem a relação. Além do 3-4-5, valem 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 20-21-29 e 9-40-41. Multiplicar um terno por qualquer número gera outro terno: 6-8-10 e 30-40-50 nascem do 3-4-5. Existe uma fórmula que produz todos os ternos primitivos: escolhidos inteiros m > n > 0, os lados são m² − n², 2mn e m² + n². Com m = 2 e n = 1 sai o 3-4-5; com m = 3 e n = 2, o 5-12-13. Na obra, o 3-4-5 vira ferramenta de esquadro. Para conferir se um canto está em 90°, marque 3 unidades ao longo de uma parede e 4 ao longo da outra, partindo do canto; se a distância entre as duas marcas for exatamente 5, o ângulo é reto. Na prática se trabalha com 60, 80 e 100 centímetros — o mesmo terno multiplicado por 20 —, porque medidas maiores diluem o erro de leitura da trena. É a recíproca do teorema em ação: o método não mede ângulo nenhum, só comprimentos.

A fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano é Pitágoras com outro nome: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²), em que as diferenças de coordenadas fazem o papel dos catetos. Em três dimensões, basta somar mais um termo. A diagonal interna de uma caixa de 3 por 4 por 12 mede √(9 + 16 + 144) = √169 = 13 — a conta que decide se uma peça comprida cabe atravessada dentro de um caixote. O mesmo raciocínio converte a diagonal de uma tela em largura e altura. Numa proporção 16:9, a diagonal equivale a √(16² + 9²) ≈ 18,36 unidades; então uma TV de 55 polegadas tem cerca de 48 polegadas de largura e 27 de altura. O nome homenageia Pitágoras, mas relações entre os lados de triângulos retângulos já eram conhecidas e usadas antes dele em outras tradições matemáticas. A generalização, por sua vez, é célebre: trocar o expoente 2 por qualquer inteiro maior elimina todas as soluções em inteiros positivos — o Último Teorema de Fermat, demonstrado por Andrew Wiles nos anos 1990.