Área de Figuras Planas

Retângulo: base × altura. Quadrado: lado². Triângulo: base × altura ÷ 2. Círculo: π × raio². Trapézio: (base maior + base menor) × altura ÷ 2. Losango: diagonal maior × diagonal menor ÷ 2. Quase todas descendem da primeira. O triângulo é metade de um paralelogramo de mesma base e mesma altura — daí o ÷ 2. O trapézio pode ser lido como a média das duas bases multiplicada pela altura, que é literalmente o retângulo equivalente. E o losango vale metade do retângulo que o circunscreve, cujos lados são as diagonais; essa fórmula, aliás, serve para qualquer quadrilátero de diagonais perpendiculares. Uma propriedade útil e pouco lembrada: dois triângulos de mesma base e mesma altura têm a mesma área, por mais inclinado que um deles esteja. Empurrar o vértice do topo para o lado não muda nada, desde que a altura se mantenha.

Em triângulos e trapézios, a altura é a distância perpendicular entre a base e o vértice (ou a base oposta). Ela não é o lado inclinado, e confundir os dois é o erro mais comum da geometria elementar — sempre superestimando a área, já que o lado inclinado é sempre maior que a altura. Em triângulos obtusos, a altura pode até cair fora da figura: prolongue a base e desça a perpendicular sobre esse prolongamento. A fórmula continua válida. Quando se conhecem apenas os três lados de um triângulo, há uma saída que dispensa altura: a fórmula de Heron. Com s = (a + b + c) ÷ 2, a área é √(s(s−a)(s−b)(s−c)). No triângulo 3-4-5, s = 6 e a área é √(6 × 3 × 2 × 1) = 6 — exatamente o mesmo que 3 × 4 ÷ 2.

Áreas irregulares se resolvem decompondo em figuras simples. Um cômodo em "L" é a soma de dois retângulos; um lote com um canto arredondado é um retângulo mais (ou menos) um setor de círculo; um terreno de quatro lados sem ângulos retos vira dois triângulos ao se traçar uma diagonal. O caminho inverso costuma ser mais rápido quando há vazios: calcule a figura cheia e subtraia os recortes. A área de uma parede a pintar é o retângulo total menos os retângulos de portas e janelas. Duas checagens evitam retrabalho. Todas as medidas precisam estar na mesma unidade antes da conta, e o resultado deve bater com uma estimativa grosseira feita de antemão.

A unidade de área é sempre ao quadrado, e isso não é detalhe de notação: 1 m² = 100 cm × 100 cm = 10.000 cm², e não 100 cm². Converter área com o fator linear produz erros por fator 100 ou 10.000, e eles passam despercebidos com facilidade. O mesmo raciocínio governa a escala. Dobrar o lado de um quadrado quadruplica a área: lado 2 dá área 4; lado 4 dá área 16. Triplicar o lado multiplica a área por nove. Em geral, a área varia com o quadrado do fator linear. As consequências práticas são imediatas. Uma pizza de 40 cm tem quatro vezes a área de uma de 20 cm, e por isso raramente deveria custar apenas o dobro. Uma foto ampliada de 10 × 15 para 20 × 30 consome quatro vezes mais papel. E um terreno com o dobro de frente e o dobro de fundo é quatro vezes maior, não duas.

A fórmula π × raio² tem uma dedução visual bonita. Corte o círculo em fatias muito finas, como uma pizza, e intercale-as alternando ponta para cima e ponta para baixo. O resultado se aproxima de um retângulo de altura igual ao raio e base igual a metade da circunferência, isto é, πr. A área, portanto, é πr × r = πr². O próprio π é a razão entre a circunferência e o diâmetro de qualquer círculo — uma constante que independe do tamanho. Ele é irracional, com expansão decimal infinita e não periódica, e também transcendente, propriedade demonstrada em 1882 que encerrou o problema clássico de quadrar o círculo com régua e compasso. Por fim, uma armadilha que vale guardar: perímetro igual não significa área igual. Com 40 metros de cerca, um retângulo de 15 × 5 encerra 75 m², um quadrado de 10 × 10 encerra 100 m², e um círculo encerra cerca de 127 m². Entre todas as figuras de mesmo perímetro, o círculo é a que abriga a maior área — o chamado problema isoperimétrico.