Aumento e Desconto Percentual

Aumentar um valor em X% é multiplicá-lo por (1 + X/100); descontar é multiplicá-lo por (1 − X/100). Com 10% sobre 200, o aumento vira 200 × 1,10 = 220 e o desconto vira 200 × 0,90 = 180. Raciocinar em fator — e não em "achar a parte e depois somar" — é o que evita quase todos os erros que vêm a seguir. O fator carrega a operação inteira: 1,10 significa "o valor mais um décimo dele"; 0,90 significa "o valor menos um décimo dele". Como tudo vira multiplicação, dois reajustes seguidos viram um produto de dois fatores — e, por isso, a ordem não altera o resultado final. Descontar 20% e depois 10% dá exatamente o mesmo preço que descontar 10% e depois 20%, porque 0,8 × 0,9 = 0,9 × 0,8.

Os fatores são 1,10 e 0,90, e 1,10 × 0,90 = 0,99 — sobram 99% do valor de partida. Sobre 200, o caminho é 200 → 220 → 198. A causa é que as duas porcentagens incidem sobre bases diferentes: os 10% de alta valem 20 (calculados sobre 200), enquanto os 10% de queda valem 22 (calculados sobre 220). A perda não é arredondamento: é sempre X² ÷ 10.000 do valor original, e cresce depressa. Com 30%, 1,3 × 0,7 = 0,91 — some 9%. Com 50%, 1,5 × 0,5 = 0,75 — some um quarto. O desvio é sempre para baixo, qualquer que seja X e qualquer que seja a ordem. Daí a assimetria famosa: para desfazer uma queda de 50% não basta subir 50%, é preciso subir 100%. O aumento que anula um desconto de X% é X ÷ (100 − X) em porcentagem: 20% de desconto exigem 25% de aumento; 80% de desconto exigem 400%.

Duas promoções de 20% não fazem 40%. Os fatores dão 0,8 × 0,8 = 0,64, ou seja, o preço final é 64% do original — um desconto efetivo de 36%. Sobre R$ 100: 100 → 80 → 64. A regra geral é multiplicar os fatores e subtrair de 1. Vinte por cento seguidos de dez por cento resultam em 0,8 × 0,9 = 0,72, ou 28% de desconto, e não 30%. Metade e depois metade de novo dão 75% de desconto, nunca 100% — nenhuma sequência de descontos parciais chega a zerar um preço. Do lado dos aumentos, a distorção corre no sentido oposto: dois reajustes de 20% totalizam 44%, porque 1,2 × 1,2 = 1,44. É o mesmo mecanismo dos juros compostos — o segundo reajuste incide sobre um valor que já cresceu.

Esta é a confusão mais cara da lista, e ela reaparece em toda notícia de economia. Quando a grandeza que muda já é uma porcentagem, existem duas maneiras legítimas de descrever a mudança — e elas produzem números muito diferentes. Se uma taxa de juros vai de 10% para 12%, ela subiu 2 pontos percentuais, que é a diferença aritmética simples. E ela subiu 20%, que é a variação percentual, porque 2 ÷ 10 = 0,20. As duas afirmações estão corretas e descrevem o mesmo fato. O erro é trocar uma pela outra. "A taxa subiu 2%" significa que ela foi de 10% para 10,2% — não para 12%. Em relatórios de juros, inflação, desemprego e participação de mercado, a expressão ponto percentual (abreviada p.p.) existe exatamente para eliminar essa ambiguidade. Sempre que o que varia é medido em por cento, verifique qual das duas leituras está em jogo antes de comparar.

A primeira é o cupom sobre a promoção. Descontos anunciados como "30% + 10% extra" quase sempre se aplicam em cascata: 1 − 0,7 × 0,9 = 0,37, ou 37% de desconto efetivo, e não 40%. A segunda é a diferença entre margem e marcação (markup). Marcar um custo de R$ 100 em 50% resulta num preço de R$ 150. Mas o lucro de R$ 50 sobre um preço de R$ 150 é uma margem de 33,3%, não de 50% — porque a base mudou de custo para preço. A conversão é margem = marcação ÷ (1 + marcação). Em todos esses casos o antídoto é o mesmo: escreva o fator e pergunte sobre qual base ele incide. Porcentagem sem base declarada é um número solto.