MMC e MDC

O MDC (máximo divisor comum) é o maior número que divide todos os valores sem deixar resto. O MMC (menor múltiplo comum, também chamado mínimo múltiplo comum) é o menor número que é múltiplo de todos eles. Para 12 e 18: os divisores comuns são 1, 2, 3 e 6, logo o MDC é 6. Os múltiplos comuns são 36, 72, 108 e assim por diante, logo o MMC é 36. Uma imagem ajuda a nunca mais trocar os dois. O MDC olha para dentro dos números, procurando o maior bloco que cabe em todos; o MMC olha para fora, procurando o primeiro ponto em que todos se encontram. Por isso o MDC nunca é maior que o menor dos números, e o MMC nunca é menor que o maior deles.

Há dois métodos, cada um melhor em uma situação. A fatoração em primos é a mais didática. Escreva 12 = 2² × 3 e 18 = 2 × 3². O MDC multiplica os fatores comuns com o menor expoente: 2 × 3 = 6. O MMC multiplica todos os fatores com o maior expoente: 2² × 3² = 36. A regra fica visível de uma vez só. O algoritmo de Euclides é o que se usa quando os números são grandes, porque dispensa fatorar. Divida o maior pelo menor e guarde o resto; repita com o divisor e o resto até o resto zerar. O último divisor não nulo é o MDC. Com 18 e 12: 18 = 1 × 12 + 6, depois 12 = 2 × 6 + 0, logo o MDC é 6. Ele é rápido de um jeito notável — o resto cai pelo menos à metade a cada duas rodadas, e o pior caso possível ocorre justamente com números de Fibonacci consecutivos. Descrito nos Elementos de Euclides, é um dos algoritmos mais antigos ainda em uso diário na computação.

Existe um atalho que evita calcular os dois separadamente: para dois números, MMC(a,b) × MDC(a,b) = a × b. Com 12 e 18: 36 × 6 = 216, exatamente 12 × 18. Como o algoritmo de Euclides entrega o MDC rapidamente, o MMC sai de graça em seguida: a × b ÷ MDC. A armadilha é supor que a relação se estenda a três ou mais números. Não se estende. Tome 2, 4 e 8: o MDC é 2, o MMC é 8, e o produto dos dois dá 16 — enquanto 2 × 4 × 8 = 64. Para vários números, o caminho correto é aplicar a operação aos pares, acumulando: MDC(a, b, c) = MDC(MDC(a, b), c), e o mesmo para o MMC. É assim que esta calculadora trabalha, e o resultado não depende da ordem em que os números aparecem.

O MMC responde a perguntas do tipo "quando coincidem de novo". Dois ônibus que partem juntos, um a cada 12 minutos e outro a cada 18, voltam a sair no mesmo instante depois de 36 minutos. Duas engrenagens de 12 e 18 dentes retomam a posição inicial quando 36 dentes tiverem passado — três voltas da menor para duas da maior. Na aritmética, o MMC dos denominadores é o menor denominador comum ao somar frações. É ele que permite resolver 1/4 + 1/6 em doze avos, em vez de passar por vinte e quatro avos e simplificar depois. O MDC aparece quando se busca o maior pedaço igual possível. Para cortar uma peça de 12 metros e outra de 18 em partes iguais sem sobra, o maior tamanho viável é 6 metros. É o mesmo raciocínio de dividir dois conjuntos em grupos idênticos ou de reduzir uma proporção como 18:12 à forma mínima 3:2.

Quando o MDC de dois números é 1, eles são primos entre si (ou coprimos). Não é preciso que sejam primos: 8 e 15 são ambos compostos, mas não compartilham nenhum fator, e por isso MDC(8,15) = 1. Nesse caso o MMC é simplesmente o produto: 8 × 15 = 120. E é exatamente essa a condição para uma fração estar na forma irredutível — numerador e denominador primos entre si. Dois detalhes de borda fecham o assunto. MDC(a, 0) = a, porque o zero é múltiplo de qualquer número. E o MDC de dois inteiros sempre pode ser escrito na forma a·x + b·y com x e y inteiros: é a identidade de Bézout, base de algoritmos usados em criptografia e em aritmética modular.