Graus para Radianos

De graus para radianos, multiplique por π/180: 180° × π/180 = π ≈ 3,1416 rad. Para o inverso, multiplique por 180/π. A referência-chave é 180° = π radianos, meia-volta. A volta completa, portanto, são 360° = 2π rad ≈ 6,2832 rad. E 1 radiano, sozinho, equivale a cerca de 57,2958° — um ângulo que não é "redondo" em graus, o que já sugere que as duas escalas foram construídas com propósitos diferentes.

O radiano tem uma definição geométrica direta: é o ângulo central que abre um arco de comprimento igual ao raio da circunferência. Enrole o raio sobre a própria borda do círculo e o ângulo que você varreu é 1 radiano. Como a circunferência inteira mede 2πr, cabem exatamente 2π raios ao redor do círculo — daí a volta completa ser 2π radianos, e não um número escolhido por convenção. Isso torna o radiano uma razão entre dois comprimentos (arco dividido por raio), ou seja, uma grandeza adimensional: as unidades se cancelam. É por isso que o comprimento de arco tem a fórmula mais simples possível, s = r × θ, desde que θ esteja em radianos. Em graus, a mesma conta exige arrastar um fator π/180 junto.

O 360 é herança babilônica, de um sistema de numeração sexagesimal (base 60), reforçado pela aproximação de que o ano tem cerca de 360 dias e o Sol avança perto de um grau por dia contra o fundo de estrelas. A escolha sobreviveu por uma razão prática: 360 é um número muito divisível. Ele tem 24 divisores, o que faz frações comuns do círculo caírem em números inteiros — 360 dividido por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120 e 180 nunca dá quebrado. Meia-volta, um terço, um quarto e um sexto de volta são todos inteiros, o que é ótimo para navegação, topografia e construção. Existe ainda uma terceira escala, o grado (ou gon), com 400 unidades na volta completa, criada para decimalizar o ângulo reto em 100. Sobrevive em topografia de alguns países e costuma aparecer como a terceira opção nas calculadoras científicas — o famoso indicador DEG / RAD / GRAD.

Em trigonometria, um punhado de conversões aparece o tempo todo e economiza consulta: 30° = π/6 · 45° = π/4 · 60° = π/3 · 90° = π/2 · 120° = 2π/3 · 135° = 3π/4 · 180° = π · 270° = 3π/2 · 360° = 2π O padrão é fácil de reconstruir: divida 180° pelo denominador. π/6 é 180/6 = 30°; π/4 é 180/4 = 45°; π/3 é 180/3 = 60°. E o numerador multiplica: 2π/3 é 2 × 60 = 120°. Em resultado de prova e de livro, o ângulo quase sempre é deixado como fração de π em vez de decimal — π/3 é exato, 1,047 rad é arredondado.

Praticamente toda linguagem espera radianos nas funções trigonométricas. Math.sin(90) não devolve 1: devolve cerca de 0,894, porque o 90 foi interpretado como 90 radianos, algo em torno de 14 voltas completas mais um resto. O seno de 90 graus só sai correto convertendo antes: Math.sin(90 * Math.PI / 180), que dá 1. O mesmo vale para Python (math.sin, com math.radians() para converter), Java, C e a maioria das demais. Planilhas seguem a mesma regra — no Excel e no Google Sheets, SEN() opera em radianos e existe a função RADIANOS() justamente para converter. A razão de fundo não é capricho de API: em cálculo, a derivada de sen(x) só é cos(x) quando x está em radianos. Em graus apareceria um fator π/180 em toda derivada, e a aproximação de ângulo pequeno — sen(θ) ≈ θ, base de boa parte da física, do pêndulo à óptica — deixaria de valer.