Conversor de Base Numérica

A base define quantos algarismos um sistema tem antes de precisar de uma nova casa. O decimal (base 10) usa 0 a 9; o binário (base 2), só 0 e 1; o octal (base 8), de 0 a 7; o hexadecimal (base 16) vai de 0 a F, com A=10, B=11, C=12, D=13, E=14 e F=15. Todos são sistemas posicionais: o valor de cada algarismo é multiplicado por uma potência da base, conforme a casa que ocupa. No decimal, 253 é 2×10² + 5×10 + 3. No binário, 1101 é 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1 = 13. No hexadecimal, 2A é 2×16 + 10 = 42. O mesmo número muda de aparência sem mudar de valor. O 42 decimal é 101010 em binário, 52 em octal e 2A em hexadecimal — e todos são o mesmo 42. O 255 é 11111111, 377 e FF. Na programação, um prefixo evita a ambiguidade: 0b101010 é binário, 0o52 é octal e 0x2A é hexadecimal.

Não é elegância matemática, é engenharia elétrica. Um circuito distingue com facilidade dois estados — há tensão ou não há, o transistor conduz ou não conduz. Dois estados toleram ruído, variação de temperatura e queda de tensão sem confundir a leitura. Um sistema decimal eletrônico exigiria diferenciar dez níveis de tensão distintos dentro da mesma faixa. Qualquer flutuação misturaria o "6" com o "7". Com dois estados bem afastados, a margem de segurança é enorme, e essa robustez é o que permite bilhões de operações por segundo sem erro. A moeda de troca é o comprimento. Números que cabem em três dígitos decimais viram oito ou dez dígitos binários — 255 vira 11111111. Para uma máquina isso é irrelevante; para uma pessoa lendo memória, é insuportável. Foi para resolver esse problema humano, e não técnico, que surgiram as bases 8 e 16.

A vantagem do hexadecimal é uma coincidência aritmética muito conveniente: 16 é 2 elevado a 4. Isso faz cada dígito hexadecimal corresponder exatamente a quatro bits, sem sobra e sem conta. Como um byte tem 8 bits, todo byte cabe em dois dígitos hex, de 00 a FF — os 256 valores possíveis. Um endereço de 32 bits vira oito dígitos, em vez de 32 zeros e uns. Daí o hexadecimal aparecer em toda parte onde se olha para bits diretamente: Cores. Uma cor web como #FF0000 são três bytes lado a lado: FF de vermelho (255, o máximo), 00 de verde e 00 de azul. #FFFFFF é branco, #000000 é preto e #808080 é o cinza médio (128 em cada canal). Com um byte por canal saem 256³ = 16.777.216 cores, os "16 milhões" anunciados nos monitores. Endereços de memória e despejos de depuração, pelo mesmo motivo de compactação. Endereços MAC de placas de rede e endereços IPv6, ambos escritos em hex. A tradução entre hex e binário é mecânica: cada dígito vira quatro bits e vice-versa. F é 1111, A é 1010, 7 é 0111.

Binário para decimal. Some as potências de 2 onde há 1, contando da direita para a esquerda a partir de 2⁰. Em 1010: 8 + 0 + 2 + 0 = 10. Vale memorizar a escada 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024. Decimal para binário. Divida sucessivamente por 2, anotando os restos, e leia-os de baixo para cima. Para 13: 13÷2 = 6 resto 1; 6÷2 = 3 resto 0; 3÷2 = 1 resto 1; 1÷2 = 0 resto 1 → 1101. O método vale para qualquer base: troque o divisor. Decimal para hexadecimal. Mesma divisão sucessiva, mas por 16, usando A-F para os restos de 10 a 15. Para 255: 255÷16 = 15 resto 15 (F); 15÷16 = 0 resto 15 (F) → FF. Binário para hexadecimal. Aqui não há divisão nenhuma. Agrupe os bits de quatro em quatro a partir da direita e traduza cada grupo: 11111111 vira 1111 1111, que é F F = FF. Se sobrar um grupo incompleto, complete com zeros à esquerda. Binário para octal. Idêntico, mas agrupando de três em três: 11111111 vira 011 111 111 = 377.

O octal é o parente esquecido do trio, e por um motivo específico: 8 é 2³, então cada dígito octal vale três bits. O agrupamento de três encaixava bem em computadores antigos com palavras de 12, 18 ou 36 bits, todas divisíveis por 3. Quando o byte de 8 bits se tornou o padrão da indústria, os tamanhos de palavra passaram a ser 8, 16, 32 e 64 bits — todos divisíveis por 4, e não por 3. O hexadecimal encaixou perfeitamente e o octal perdeu a função. Sobreviveu, porém, num lugar que quase todo desenvolvedor encontra: as permissões de arquivo em sistemas Unix e Linux. Cada conjunto de permissões tem exatamente três bits — ler, escrever e executar — e três bits são um dígito octal. Por isso chmod 755 faz sentido: o 7 é 111 (as três permissões para o dono), e cada 5 é 101 (ler e executar, sem escrever, para grupo e outros). O 644 comum em arquivos de texto é 110 e 100. É um caso raro em que a base antiga permaneceu porque o problema tem naturalmente três bits — não por inércia.